Po úspešnom ukončení gymnázia vo veku 19 rokov zachytil Božie volanie cez výzvu pápeža Pia XI. o potrebe misionárov pre Rusko. Odišiel študovať do Ríma, kde v roku 1936 vstúpil do jezuitského noviciátu. Alexej Alojz Strýček SJ bol posledným žijúcim z prvej generácie Slovákov, ktorí prišli do Rusika, Pápežského kolégia v Ríme a prijali východný obrad, aby mohli ako kňazi pôsobiť v Sovietskom zväze v čase komunistickej totality.
V roku 1944 prijal kňazskú vysviacku. Do Ruska sa však nemohol dostať, preto pôsobil medzi ruskými zajatcami v Belgicku, v tom čase okupovanom nacistami. V belgických baniach ich v tom čase pracovalo až 40-tisíc. Ako kapitán Americkej armády sa neskôr staral o zajatých Nemcov, no nikdy nevzal do ruky zbraň. Za zásluhy pri oslobodzovaní Belgicka dostal belgické kráľovské vyznamenanie.
Po skončení vojny chcel sprevádzať prepustených zajatcov do Sovietskeho zväzu, ale na príkaz predstavených odišiel do Francúzska, kde si doplnil štúdiá a v roku 1948 zložil posledné rehoľné sľuby. Prijal francúzske štátne občianstvo a počas polstoročia pôsobil v Paríži v rusky hovoriacom prostredí.
Stretával aj umelcov a intelektuálov, udržiaval priateľské kontakty so známymi osobnosťami. V doktorskej práci na Sorbone spracoval dielo ruského satirika z 18. storčia Denisa Ivanoviča Fonvízina. Bol vynikajúcim filológom-rusistom a publikoval významnú prácu o prízvuku v ruskom jazyku.
V samotnom Sovietskom zväze si toto dielo získalo uznanie a páter Strýček tak mohol začiatkom 60. rokov pricestovať na isté obdobie do Ruska. Do Francúzska sa stihol vrátiť tesne predtým, než sovietska informačná služba odhalila, že tajne vedie krúžok ruských bohoslovcov.
Jeho sen pôsobiť v Rusku sa naplno realizoval až v roku 1993, vo veku 77 rokov. Nasledujúcich 15 rokov pôsobil v Novosibirsku ako člen komunity jezuitov Ruského regiónu. Zomrel ako 97 ročný 8. augusta 2013 vo Francheville pri Lyone, kde bol na odpočinku. Je pochovaný na tamojšom cintoríne.